Bivector

En matemáticas, un bivector o 2-vector es una cantidad en álgebra exterior o álgebra geométrica que amplía la idea de escalares y vectores. Si un escalar se considera una cantidad de orden cero, y un vector es una cantidad de orden uno, entonces se puede considerar que un bivector es de orden dos.

Los bivectores tienen aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas y la física. Están relacionados con los números complejos en dos dimensiones y con los vectores axiales y los cuaterniones en tres dimensiones. Se pueden usar para generar rotaciones en cualquier número de dimensiones, y son una herramienta útil para clasificar tales rotaciones. También se utilizan en física, uniendo varias cantidades no relacionables de otra manera.

El producto exterior aplicado sobre los vectores genera bivectores: dados dos vectores a y b, su producto exterior a ∧ b es un bivector, al igual que la suma de cualquier bivector. No todos los bivectores se pueden generar como un solo producto exterior. Más precisamente, un bivector que se puede expresar como un producto exterior se llama simple. En hasta tres dimensiones, todos los bivectores son simples, pero en dimensiones superiores no es así.^[2]​ El producto exterior de dos vectores es anticonmutativo y alternante, por lo que b ∧ a es el opuesto del bivector a ∧ b, que produce la orientación opuesta, y a ∧ a es el bivector cero.

Geométricamente, un bivector simple se puede interpretar como un sector plano orientado, de forma análoga a pensar en un vector como un segmento con una dirección dada.^[3]​ El bivector a ∧ b tiene una magnitud igual al área del paralelogramo con lados a y b; tiene la colocación del plano que abarca a y b; y tiene el sentido de la rotación que alinearía a con b.^[3]​^[4]​

En términos simples, cualquier superficie se asimila al mismo bivector si tiene la misma área, la misma orientación y es paralela al mismo plano (véase la figura).

1. ↑ Leo Dorst; Daniel Fontijne; Stephen Mann (2009). Geometric Algebra for Computer Science: An Object-Oriented Approach to Geometry (2nd edición). Morgan Kaufmann. p. 32. ISBN 978-0-12-374942-0. «El bivector algebraico no es específico en forma; geométricamente es una cantidad de área orientada en un plano específico, eso es todo.» 
2. ↑ Error en la cita: Etiqueta <ref> no válida; no se ha definido el contenido de las referencias llamadas Lounesto 2001 p. 87
3. ↑ ^{a b} David Hestenes (1999). New foundations for classical mechanics: Fundamental Theories of Physics (2nd edición). Springer. p. 21. ISBN 978-0-7923-5302-7. 
4. ↑ Lounesto (2001) p. 33